1.В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1, D1. Найдите:
а) длину ребра A1B1;
б) косинус угла между векторами ;
в) уравнение ребра A1B1;
г) уравнение грани A1B1C1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1;
е) координаты векторов , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;
ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1 соответственно;
з) разложение вектора по базису ,
если A1(1, 1, 4), B1(2, 1, 2), C1(1, -1, 2), D1(6, -3, 8).

2.Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.

3.В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них:
а) все книги имеют дефект обложки;
б) только одна книга имеет этот дефект.

4.Два контролёра производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко второму контролеру контролеру – 0,45. Первый контролёр выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй – с вероятностью 0,9. Вычислите вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.

5.Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X -2 -1 0 1 2 3 4
p 0,42 0,23 p 0,10 0,06 0,03 0,01
Найдите:
а) неизвестную вероятность p;
б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  данной случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = -2x + 1.

6.Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:
а) не будут иметь дефекта 342 изделия;
б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий